举个栗子！Minitab 技巧（7）：用 Minitab 实现最小二乘法回归分析

企业分析场景中，我们难免需要研究两个或多个变量之间是否存在某种关系。举个例子，零售批发或交通运输等行业往往需要分析单位时间下的运输效能。

比如，随着单位桶数变化，运输时间会如何增加？按常理而言，桶数越多，所花时间也越多。但如何描述两个变量之间的关系？系数是多少？桶数每增加一个单位，又会增加多少时间？

面对上述场景，Minitab 提供了多种推理回归方法（如最小二乘法），可快速帮助我们检验变量之间的关系，客观评估拟合值是否达到最优。下面，我们就以“桶数与时间的关系”为例，进行分析推导与验证。

本期《举个栗子！Minitab 技巧》，我们就来分享方法：用 Minitab 实现最小二乘法回归分析

为方便学习，栗子使用下图所示数据源。掌握栗子方法后，数据粉可尝试使用自己的数据。如需跟随实操，可通过页面右侧获取数据源。

具体步骤如下：

01 使用散点图简单观察数据关系

打开 Minitab 统计软件，导入示例数据。

单击选择菜单栏中的“图形”-“散点图”选项。

在弹出的“散点图”对话框中，选择“简单”，然后单击“确定”。

在第二个弹窗中，将Y变量设置为“时间”，将X变量设置为“桶数”，单击“确定”。

通过观察生成的散点图，可见数据之间呈现出一种浅层的线性关系。初步验证：随着桶数的增加，时间也会增加。但是，应该如何描述这样的线性关系呢？

02 用最小二乘法进行模拟推导

首先，需要确认采取什么方法来模拟线性关系。在此，我们选用最小二乘法进行模拟。以一元线性回归为例，公式包含以下内容：

i=1,2…n （εi 代表残差，残差指的是观测值与拟合值的差）

然后，通过最小二乘法来估算 β0 和 β1 ，使得这些点跟线之间的距离最小。

在本例中，自变量是桶数，因变量是时间。因此需要计算每个时间样本点到直线上时间的距离。根据换算，可以得到以下公式：

以第一个数据点为例，了解到（7,58）对应数值为（58-β0-β1*7）² ，后续数值以此类推。通过对 β0 和 β1 求偏导数，得到以下两个等式：

则：

得到：

为了简化计算方式，我们引入三个交叉项 lxy、lxx 和 lyy。

整理以上几项，得到：

把以上几个项带入 β0 和 β1 ，得到以下公式：

最后，根据之前的推论来计算数值。经过计算，最终得到如下结果：

03 用 Minitab 进行回归分析验证

对照使用最小二乘法计算所得的数值，Minitab 是否会得到同样的结果？接下来，我们使用 Minitab 来进行实操验证，看看随着桶数变化，时间会如何增加。

将示例数据导入 Minitab 后，单击选择菜单栏中的“统计”-“回归”-“拟合线图”选项。

在弹出的对话框中，将响应（Y）设置为“时间”，预测变量（X）设置为“桶数”，回归模型类型设置为“线性”，然后单击“确定”。

在 Minitab 返回的视图中，可以看到：时间=1.287+8.035 桶数，就是我们所需验证的线性关系。

可见，Minitab 的分析结果与使用最小二乘法推导的结果保持一致，且操作更简便直观。

综上所述，我们验证了时间和桶数之间存在线性关系：随着桶数每增加 1 个单位，所需的搬运时间增加 8 秒左右。

今天的 Minitab 技巧，你 Get 到了吗？赶快打开软件试试看吧~